Προς πολύπλευρο προβληματισμό...

Η κουλτούρα του παρελθόντος δεν είναι πια ζωντανή μέσα στην παράδοση αλλά αντικείμενο μουσειακής γνώσης, κοσμικής και τουριστικής περιέργειας, που ρυθμίζεται από τις μόδες [...] Ακόμα περισσότερο δε, δεδομένου ότι, στον ίδιο τον τομέα του στοχασμού, η ιστορία, ο σχολιασμός και η ερμηνεία αντικαθιστούν προοδευτικά τη δημιουργική σκέψη.

Κ. Καστοριάδης, Η άνοδος της ασημαντότητας, Ύψιλον,  (μτφρ. Κ. Κουρεμένος) Αθήνα 2000

Ζώο, λαχανικό ή υπουργός;

Διαβάζοντας το, έξοχο κατ’ εμέ, βιβλίο του Charles Seife “ΜΗΔΕΝ - Η βιογραφία μιας επικίνδυνης ιδέας” μπορεί εύκολα κάποιος να ανακαλύψει τη δύναμη, την πρόκληση και το μυστήριο που περιέχει το ψηφίο αυτό. Παραβλέφτηκε ή αποκρύφτηκε επιμελώς από πολλούς πολιτισμούς για το λόγο ότι είχε τη δύναμη να τινάξει κυριολεκτικά στον αέρα πολλές από της μαθηματικές θεωρίες. Από τα παράδοξα του Ζήνωνος του Ελεάτη μέχρι το σκοτεινό μυστήριο που καλύπτει την απαρχή και το τέλος του σύμπαντος, η επιστήμη καλείται ολοένα να αντιμετωπίσει, να εξηγήσει και να τιθασεύσει κάποιο μηδέν, αντικρύζοντας συχνά και την άλλη όψη του, το άπειρο. Μια “ισχυρή επίθεση” που δέχτηκε το μηδέν ήταν η θεωρία των ορίων, η οποία εξηγεί κατά κάποιο τρόπο τα παράδοξα του Ζήνωνος, αδυνατεί όμως να δώσει μια πλήρως αποκρυπτογραφημένη εικόνα της επικίνδυνης αυτής ιδέας. Παραθέτω ένα απλό παράδειγμα από το βιβλίο του Seife για το πόσο εύκολα το μηδέν μπορεί να καταστρέψει τη λογική:

Έστω α=1 και β=1

Εφόσον α=β τότε β²=αβ (σχέση 1)

Εφόσον α=α, προφανώς και α²=α² (σχέση 2)

Αφαιρώντας τη σχέση 1 από τη σχέση 2, έχουμε: α²-β²=α²-αβ (σχέση 3)

Παραγοντοποιώντας και τα 2 σκέλη της εξίσωσης έχουμε:

(α+β)(α-β)=α(α-β) (σχέση 4) Η πρόταση είναι αληθής.

Διαιρώντας και τα 2 μέλη με (α-β) παίρνουμε:

α+β=α (σχέση 5)

Επομένως, β=0 (σχέση 6)

Εξ ορισμού όμως, β=1 και αυτό σημαίνει 1=0 (σχέση 7)

Επεκτείνοντας το συλλογισμό αυτό, ξέρουμε ότι ο Churchill είχε 1 κεφάλι. Από τη σχέση 7 όμως, 1=0 άρα ο Churchill δεν είχε κεφάλι. Ομοίως ο Churchill είχε 0 φυλλώδεις κορυφές, άρα είχε 1 φυλλώδη κορυφή. 

Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της σχέσης 7 με 2 έχουμε 2=0 (σχέση 8)

Ο Churchill είχε 2 πόδια, επομένως δεν είχε πόδια, ομοίως και με τα χέρια.

Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση 7 με την περίμετρο της μέσης του Churchill σε εκατοστά παίρνουμε ότι:

(περίμετρος μέσης Churchill)=0 (σχέση 9)

Άρα ο Churchill συρρικνώνεται σε 1 σημείο

Παίρνοντας ένα φωτόνιο που προέρχεται από αυτόν και πολλαπλασιάζοντας το μήκος κύματος με τη σχέση 7 έχουμε:

(μήκος κύματος φωτονίου Churchill)=0 (σχέση 10)

Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση 7 με 640 nm βλέπουμε ότι:

640=0 (σχέση 11)

Αυτό σημαίνει ότι το συγκεκριμένο φωτόνιο, ή κάθε άλλο φωτόνιο του Churchill έχει χρώμα πορτοκαλί.

Αποδεικνύεται μαθηματικά ότι ο Churchill δεν είχε χέρια και πόδια, αντί για κεφάλι είχε μια φυλλώδη κορυφή, ήταν συρρικνωμένος σε 1 σημείο και είχε πορτοκαλί χρώμα. Σαφώς ο Churchill ήταν καρότο!

Το λάθος σε αυτήν την πρόταση είναι η διαίρεση με (α-β) προχορώντας από τη σχέση 4 στη σχέση 5. Εφόσον α και β ισούνται με 1, α-β=1-1=0. Διαιρέσαμε με 0 και πήραμε την λανθασμένη πρόταση 1=0. Συνεπώς οποιαδήποτε πρόταση στο σύμπαν μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής. Οποιαδήποτε απερίσκεπτη χρήση του μηδενός έχει τη δύναμη να καταστρέψει τη λογική και να οδηγήσει οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία σε κατάρρευση. 

Microlude


Ξεφυλλίζοντας  -για άλλη μια φορά- το workbook του Arthur Jannery πάνω στο βιβλίο της Αρμονίας του Walter Piston, έπεσα επάνω στα Composition Activities του Πρώτου κεφαλαίου, σχετικά με τα διαστήματα και τις κλίμακες. Η άσκηση ζητά την κατασκευή μιας μελωδίας, βασισμένη μονάχα στις νότες Φα-Σολ-Λα, σε οποιαδήποτε οκτάβα, κάτι που μου θύμισε τις ασκήσεις σύνθεσης του βιβλίου του William Russo “Composing Music: A new Approach”, καθώς και τις κάπως αδέξιες προσπάθειες σύνθεσης που είχα κάνει, όντας μαθητής αρμονίας, να δώσω μια ικανοποιητική εκδοχή των ασκήσεων αυτών. Δέκα χρόνια μετά και με την ελπίδα κάποιας πιθανής μείωσης της αδεξιότητας του τότε, παραθέτω μια μινιατούρα επάνω στους τρεις αυτούς φγθόγγους. Σε κάθε περίπτωση, τόσο το βιβλίο του Jannery όσο και του Russo, είναι για μένα δύο σημαντικοί οδηγοί που ανοίγουν ορίζοντες σε κάθε ηλικίας μουσικό, μαθητή και μη.

Μπορείτε να κατεβάσετε την παρτιτούρα εδώ  

Άσκηση Ύφους Ι - Μενουέτο και Τρίο

Είτε ως αυτόνομο κομμάτι, είτε ως μεσαίο μέρος κυκλικών δομών όπως η σουίτα, η σονάτα ή η συμφωνία, το μενουέτο αποτελεί ένα σημείο έναρξης για τη μελέτη της ονομαζόμενης “κυκλικής” ή “ισοκυκλικής μορφής” (ternary form). 

Η τυπική δομή του μενουέτου, γραμμένο πάντα σε τρίσημο ρυθμό (3/4, 3/8) ή σπανιότερα σε πολλαπλάσιά του (6/8) είναι: 

||:Α:||:Β-Α’:||

Το Α συμβολίζει το βασικό θέμα του μενουέτου στην περιοχή της τονικής, το Β μια δεύτερη αντιθετική ως επί των πλείστων ιδέα στην τονική της δεσπόζουσας και το Α’ την επανάληψη του Α, είτε αυτούσια είτε με κάποιες μικρές διαφορές ξανά στην περιοχή της τονικής.

Ο τρόπος με τον οποίο γίνονται οι επαναλήψεις καθιστούν το μενουέτο ως διμερή και όχι τριμερή μορφή για το λόγο ότι στη δεύτερη επανάληψη, η ενότητα Α’ παρουσιάζεται να είναι ενσωματωμένη στην ενότητα Β και συνδεδεμένη με μια χαρακτηριστική συγχορδία η οποία μπορεί να είναι κάποια δεσπόζουσα, παρενθετική δεσπόζουσα κλπ. Χαρακτηριστικό του μενουέτου είναι ι μισή πτώση στη δεσπόζουσα με την οποία τελειώνει σχεδόν πάντα το Α.

Μέσα σε ευρύτερες μουσικές δομές όπως αυτή της σονάτας ή της συμφωνίας, το μενουέτο, γραμμένο σε μια πιο απλή αρμονική και μελωδική γλώσσα από όσα προηγούνται και έπονται, την οποία ο ακροατής μπορεί ευκολότερα να ακολουθήσει, αποτελεί ένα σημείο χαλάρωσης της έντασης, η οποία πολλές φορές λειτουργεί ως προετοιμασία για το finale.

Παρ’ όλη την άγνωστη καταγωγή του, όπως άλλωστε συμβαίνει σε πολλά είδη παραδοσιακής μουσικής, το μενουέτο παρουσιάζεται να χορεύεται στην αυλή του Louis XIV περίπου το 1660. Παραθέτω ένα φολκλορικό δείγμα αναπαράστασης του χορού της εποχής αυτής:

Εν συνεχεία, ας δούμε λίγο πιο διεξοδικά τα δομικά συστατικά της μορφής αυτής, μέσα από το μενουέτο του Mozart Νο. 3 KV 65a

Παραθέτω μια εκτέλεση από το Youtube του μενουέτου αυτού, με το τρίο που το συνοδεύει και το οποίο θα δούμε λίγο παρακάτω.

Μπορείτε να κατεβάσετε σε μορφή pdf την αρμονική και μοτιβική ανάλυση της παρτιτούρας εδώ

Το πρώτο μέρος του μενουέτου το οποίο θα ονομάσουμε Α εκτείνεται από το μέτρο 1 έως το μέτρο 8 και έχει τη μορφή μιας τυπικής οκτάμετρης πρότασης:

Τα μέτρα 1 και 2 αποτελούν τη βασική ιδέα του Α την οποία ονομάζουμε a1 και είναι στην περιοχή της Τονικής (Τ). Ονομάζουμε τα 2 επόμενα μέτρα, 3-4, a2 τα οποία περιέχουν τη βασική ιδέα στην τονικότητα της δεσπόζουσας. Στα 2 επόμενα μέτρα έχουμε μια μικρή ανάπτυξη της ιδέας αυτής με το a1 να παίζεται από το τσέλο ενώ ντουμπλάρεται με παράλληλες τρίτες από το πρώτο βιολί. Το μέτρο 7 είναι μια μελωδική προετοιμασία της μισής πτώσης η οποία θα ακολουθήσει στο επόμενο μέτρο (8)

Στη συνέχεια έχουμε το μέρος Β του κομματιού, το οποίο διαρκεί από το μέτρο 9 έως το μέτρο 12. Εδώ έρχεται μια αντιθετική ιδέα ως προς το Α. Έχουμε χρωματική κίνηση η οποία έρχεται σε αντίθεση με την πλήρως διατονική της προηγούμενης ενότητας. Το χαρακτηριστικό του τετραμέτρου αυτού μέρους είναι η αυτούσια επανάληψη των 2 πρώτων μέτρων (9-10) τα οποία ονομάζουμε b1,με ανταλλαγή φωνών ανάμεσα στο πρώτο και το δεύτερο βιολί το οποίο επαναλαμβάνει το b1, με διαφορετική όμως μελωδική κατάληξη και για το λόγο αυτό θα το ονομάσουμε b2. Τα b1 και b2 από το πρώτο και το δεύτερο βιολί αντίστοιχα, συνοδεύονται αντίθετα (αντίστοιχα από το δεύτερο και το πρώτο βιολί) από το μοτίβο m1 το οποίο παραμένει στην ίδια οκτάβα σε αντίθεση με το b2 το οποίο επαναλαμβάνει το μελωδικό υλικό του b1 μια οκτάβα χαμηλότερα. H επανάληψη του δίμετρου αυτή γίνεται επάνω στο ίδιο βάσιμο το οποίο ονομάζουμε m2 (τσέλο, ΜΜ 9-10 = ΜΜ 11-12).

O τρίτος παλμός του μέτρου 12 σηματοδοτεί την έναρξη του A’ (MM 13-20) το οποίο συνδέεται με το προηγούμενό του Β μέσω της πτώσης στη δεσπόζουσα στο μέτρο 12. Το Α’ είναι και αυτό μια οκτάμετρη, καταληκτική αυτή τη φορά πρόταση, με αυτούσια επανάληψη τα a’ 1, a’2, a’3 και αλλαγμένη την κατάληξη, η οποία εδώ είναι μια τέλεια πτώση που πραγματοποιεί και το finale του μενουέτου.

Στη συνέχεια ακολουθεί το Τρίο, το οποίο συνδυαζόμενο με την επανάληψη του μενουέτου (Minuetto da capo) σχηματίζει παράλληλα μια επίσης τριμερή μακροδομή.

Κατά το 17ο και 18ο αιώνα το Τρίο υπήρξε μια συνήθης μορφή όπου παρεμβαλλόταν ανάμεσα στο μενουέτο και την επανάληψή του. Η λειτουργία του είναι τόσο δομική εφόσον δημιουργεί  ένα αντιθετικό, ως επί των πλείστων, τμήμα ως προς το μενουέτο, όσο και χρονική, εφόσον χρησιμοποιείται για την επέκταση της διάρκειας της μουσικής, προσφέροντας περισσότερο χρόνο στους χορευτές για τις φιγούρες τους. Τονικά, το Τρίο αρχικά φέρεται να είναι στην ομώνυμη ως προς το μενουέτο κλίμακα, στη συνέχεια όμως, χτίζεται κυρίως πάνω σε συγγενείς τονικότητες (Υποδεσπόζουσας, Δεσπόζουσας, Επιδεσπόζουσας κλπ). Το ύφος του Τρίο παρουσιάζεται και αυτό αντιθετικό ως προς το μενουέτο. Συνήθεις αντιθέσεις για παράδειγμα είναι: Μελωδικό-Ρυθμικό, Ομοφωνικό-Αντιστικτικό, Dolce-Vivace, Grazioso-Energico κλπ. 

Μορφολογικά, το Τρίο θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως ένα δεύτερο, αντιθετικό μενουέτο, χωρισμένο και αυτό σε 2 μέρη όπου στο δεύτερο μέρος βρίσκεται ενσωματωμένη η επανάληψη του πρώτου. 

Στο εν λόγω Τρίο του Mozart είναι γραμμένο στη Ρε μείζων, την Υποδεσπόζουσα της Λα Μείζων στην οποία είναι γραμμένο το μενουέτο. Η αντίθεση στο ύφος είναι εμφανής, εφόσον εδώ έχουμε ένα πιο ενεργητικό τμήμα ως προς την αφηγηματική υφή του μενουέτου. Επίσης η δομή του δεν περιλαμβάνει επανάληψη του Α (Α’) αλλάέχουμε μια απλή δομή τύπου:

||:Α:||:Β:|| 

Ονομάζουμε τα μέτρα 1-8 Α. Σε αντίθεση με το μενουέτο που προηγήθηκε εδώ δεν έχουμε οκτάμετρη πρόταση αλλά μια μουσική φράση τύπου a1-a2, το πρώτο στην περιοχή της τονικής και το δεύτερο στην περιοχή της δεσπόζουσας. Τα δομικά συστατικά της ενότητας αυτής είναι τα μοτίβα m1, m2, m3 και m4, 2 όγδοα-τέταρτο, 6 συνεχόμενα όγδοα, 3 συνεχόμενα τέταρτα και 4 δέκατα-έκτα-2 τέταρτα αντίστοιχα. Στα μέτρα 4 και 5 η ενότητα Α μετατρέπει στη δεσπόζουσα με τη χρήση της συγχορδίας Μι Μείζων (Διπλή δεσπόζουσα) τελειώνοντας με μία τέλεια τετραμερή πτώση σε αυτή.

Στη συνέχεια ακολουθεί το Β (ΜΜ 9-16) το οποίο διανύει μια πορεία επιστροφής στην Τονική. Όπως ακριβώς και η ενότητα Α, το Β αποτελείται από 2 μικρότερα και ίσα σε διάρκεια τμήματα τα b1 και b2 τα οποία βρίσκονται στις περιοχές της δεσπόζουσας και της τονικής αντίστοιχα. Η κατανομή του μουσικού υλικού είναι ακριβώς η ίδια με το Α, με τα ρυθμικά μοτίβα m1, m2, m3, και m4 στις ίδιες ακριβώς θέσεις με πριν. Συνεπώς, ίδιος παραμένει και ο αρμονικός ρυθμός του B σε σχέση με το A. Αντιλαμβανόμαστε ότι με την παρεμβολή του Τρίο η διάρκεια του μενουέτου αυξάνεται 2,5 έως 3 φορές περισσότερο, εξαρτάται αν τηρηθούν ή όχι α σημεία επανάληψης τη δεύτερη φορά που παίζεται το μενουέτο. 

Τέλος, παραθέτω έναν συνοπτικό πίνακα με τη μορφολογική και αρμονική πορεία του κομματιού, τόσο σε μικροδομικό όσο και σε μακροδομικό επίπεδο.

Εν κατακλείδι και προς ολοκλήρωση της ασκήσεως ύφους, παραθέτω ένα Menuetto μιμούμενος τη δομή και το στυλ των παραπάνω. Μπορείτε να κατεβάσετε την παρτιτούρα εδώ